標準差計算器

標準差是什麼

標準差描述一組數字「離平均有多遠」，單位與原始資料相同：分數的標準差單位仍是「分」。標準差越大，數字越分散；越小，越集中在平均附近。

國家教育研究院《教育大辭書》（吳鐵雄，2000 年 12 月）的說明是：標準差是表示團體分數分散情形的統計數之一，是離均差平方的平均數的正平方根；同一則詞條也提到，離均差平方和除以 N 用於描述統計，除以 N−1（自由度）則用在推論統計中估計母群的標準差。

標準差怎麼算：逐步算例

步驟：(1) 算平均數；(2) 每筆資料減平均，得離均差；(3) 離均差平方；(4) 全部加總，得離均差平方和；(5) 除以 n（母體）或 n−1（樣本），得變異數；(6) 開根號，得標準差。

算例一（工具預設值）：五位同學的段考分數 62、68、70、75、85（假設的示範數字）。平均＝360÷5＝72。離均差平方和＝298。若這五人就是要描述的整個群體：變異數＝298÷5＝59.6，標準差＝√59.6＝7.7201。若這五人只是從更大群體抽出的樣本：變異數＝298÷4＝74.5，標準差＝√74.5＝8.6313。

母體標準差與樣本標準差怎麼選

手上的資料就是你要描述的整個群體（例如想描述全班這次段考，而全班成績都在手上），用母體標準差，除以 n，符號 σ，Excel 為 STDEV.P。手上的資料只是樣本、想拿來推論更大的群體（例如問卷抽樣、研究取樣），用樣本標準差，除以 n−1，符號 s，Excel 為 STDEV.S。選用要看資料的角色，不是挑比較小或比較好看的數字。

兩者的差距隨資料筆數增加而縮小：算例一 5 筆是 7.7201 與 8.6313；把 10 位同學的分數 52、58、61、65、68、70、72、75、80、89 貼進工具，則是 10.2859 與 10.8423。Microsoft 的說明也指出，樣本很大時兩者結果會趨近相等。只有 1 筆資料時，樣本標準差的分母是 0，無法計算，工具會顯示「--」，不會硬填成 0。

知道平均與標準差後，可以用Z 分數計算器看某個分數離平均幾個標準差。

平均一樣、標準差不一樣：算例二

各取 4 位同學的小考分數（示範數字）：A 組 60、60、80、80，B 組 68、70、70、72。兩組平均都是 70。A 組離均差是 −10、−10、10、10，平方和 400，母體變異數 100，母體標準差 10。B 組離均差是 −2、0、0、2，平方和 8，母體變異數 2，母體標準差 1.4142。

結論：只看平均會以為兩組一樣，標準差顯示 A 組分散得多。把這兩組數字分別貼進工具就能重現。

要把個別分數放到同一把尺上比較，可以用T 分數計算器。

標準差計算機（工程計算機）怎麼按

按鍵名稱與順序依型號而異，請以手上計算機的說明書為準。通用步驟如下：(1) 進入統計模式（常標 STAT 或 SD），有選單時選單變數統計（常標 1-VAR）；(2) 清除舊資料；(3) 逐筆輸入分數，每輸入一筆就按該機型的存入或確認鍵；(4) 離開資料編輯，叫出統計結果選單；(5) 選平均數 x̄、母體標準差 σx、樣本標準差 sx。

Casio 官方線上說明書就是這樣標示：σx 是母體標準差（Population standard deviation），sx 是樣本標準差（Sample standard deviation）。其他品牌的標示可能不同，找不到時請翻說明書的統計章節。

用已知答案核對你的按法：同一份 Casio 說明書的範例資料 55、54、51、55、53、53、54、52，說明書給的結果是 x̄＝53.375、σx＝1.316956719、sx＝1.407885953。把這 8 個數字貼進本頁工具，會得到平均 53.375、母體標準差 1.317、樣本標準差 1.4079，與說明書一致。如果你按出來的是 1.4079，你取的是樣本標準差。

高中課綱怎麼寫標準差

教育部 2018 年（107 年 6 月）公布的《十二年國民基本教育課程綱要 國民中小學暨普通型高級中等學校 數學領域》，10 年級的學習內容 D-10-2「數據分析」列出「一維數據的平均數、標準差」，備註寫到「學生應知道統計數據可能有略為不同的定義，也應理解可能產生數值略為不同但意義相同的數據」。12 年級加深加廣選修數學甲（D-12 甲-1）與乙（D-12 乙-1）則在離散型隨機變數中列出期望值、變異數與標準差。實施要點也寫到，高中學生所用的計算機應該要能處理數據的變異數與標準差。

課綱本身沒有逐字規定標準差公式要寫成除以 n 或 n−1，公式的寫法以你使用的教科書與老師的定義為準。如果同一批資料在課本、計算機與 Excel 得到略微不同的數字，先檢查它用的是 n 還是 n−1。

Excel 標準差函數

以算例一為例，五位同學的分數放在 A2:A6。下列公式已用 LibreOffice Calc 實際執行驗算（函數名稱與 Excel 相同）：

平均數（結果 72）

=AVERAGE(A2:A6)

母體標準差（結果 7.7201）

=STDEV.P(A2:A6)

樣本標準差（結果 8.6313）

=STDEV.S(A2:A6)

母體變異數（結果 59.6）

=VAR.P(A2:A6)

樣本變異數（結果 74.5）

=VAR.S(A2:A6)

• Microsoft 的說明：STDEV.P 假設引數是整個母體，採 n 方法；STDEV.S 假設引數是母體的樣本，採 n−1 方法。VAR.P、VAR.S 是對應的變異數函數。
• 引數是範圍時，空白儲存格、邏輯值與文字會被忽略，所以含文字的欄位不會造成錯誤，但也代表有效個數可能比你以為的少。

標準差常見錯誤

• 母體與樣本版本混用：同一份報告前後用不同的版本，數字對不上。選一個並寫明。
• 極端值或輸入錯誤：NIST 工程統計手冊指出，尾端的極端值可能扭曲標準差。把 75 誤打成 750，標準差會暴增，先檢查原始資料。
• 逗號當小數點：本工具把逗號視為分隔符，3,5 會被讀成 3 與 5 兩筆，不是 3.5。
• 沒有核對有效個數：無法辨識的片段會被忽略，正式使用前請確認畫面上的個數等於你的資料筆數。
• 拿不同滿分或不同單位的標準差直接比大小：標準差的單位與原始資料相同，滿分不同的考卷不能直接比較。
• 把標準差當作好壞的判斷：標準差只描述分散程度，不是及格或精熟的門檻。

方法與資料來源

• 國家教育研究院《教育大辭書》：標準差（吳鐵雄，2000 年 12 月） ：標準差表示團體分數分散情形；除以 N 用於描述統計、除以 N−1 用於推論統計。查核日期 2026-10-16。
• 教育部、國家教育研究院：十二年國民基本教育課程綱要 數學領域（2018 年 6 月） ：學習內容 D-10-2（第 47 頁）、D-12 甲-1、D-12 乙-1，以及實施要點的計算機規定（第 54 頁）。查核日期 2026-10-16。
• Casio 官方線上說明書：fx-82ES PLUS 統計模式（1-VAR） ：Var 選單中 σx 為 Population standard deviation，sx 為 Sample standard deviation。查核日期 2026-10-16。
• Casio 官方線上說明書：fx-991MS 標準差計算 ：範例資料 55、54、51、55、53、53、54、52 的 sx＝1.407885953、σx＝1.316956719、x̄＝53.375。查核日期 2026-10-16。
• Microsoft 支援：STDEV.P 函數 ：假設引數為整個母體，採 n 方法；樣本很大時與 STDEV.S 趨近相等。查核日期 2026-10-16。
• Microsoft 支援：STDEV.S 函數 ：假設引數為母體的樣本，採 n−1 方法。查核日期 2026-10-16。
• Microsoft 支援：VAR.P 函數 ：以整個母體計算變異數；VAR.S 為樣本版本。查核日期 2026-10-16。
• NIST Engineering Statistics Handbook：Measures of Scale ：樣本變異數與樣本標準差採 N−1；尾端的極端值可能扭曲標準差。查核日期 2026-10-16。

如何使用

1. 在輸入框貼上或鍵入數字，可用逗號、空白或換行分隔。
2. 工具會即時列出個數、平均、中位數、眾數、全距，以及母體與樣本的變異數、標準差。
3. 依資料角色選用：完整群體看母體，抽樣資料看樣本。
4. 需要時可複製完整的統計摘要。

常見使用情境

• 計算一組段考成績的標準差，看班上分數是否集中。
• 平均相同的兩組資料，比較哪一組比較分散（算例二）。
• 用說明書的範例資料核對工程計算機的按法。