Z 分數計算器

Z 分數是什麼

Z 分數回答一個問題：這個分數比團體平均高或低「幾個標準差」。國家教育研究院《教育大辭書》說明，Z 分數是直線標準分數之一，是最基本且最簡單的一種，其他直線標準分數（例如 T 分數）都依 Z 分數的原理計算；原始分數高於平均數時 Z 為正、低於平均數時為負、與平均數一樣大時為 0。

同一份辭書的「標準分數」詞條把這類分數定義為：以平均數為參照點，用離均差表示個別分數在所屬團體中的相對位置。所以 Z 分數描述的是「在這個團體裡站在哪裡」，不是答對幾成：同樣 82 分，放在平均 70 的班級和平均 90 的班級，Z 分數完全不同。

Z 分數怎麼算：公式與算例

公式是 z＝(X−M)÷SD（教育大辭書寫成 Z＝(X－M)/S）：X 是原始分數，M 是平均數，SD 是標準差。M 與 SD 必須是同一個團體、同一份考卷的數字，標準差必須大於 0。以下班級數字是為了示範算法而設定的假設數字。

平均數與標準差還沒算出來，可以先用標準差計算器。

• 算例一（工具預設值）：某班國文段考，全班平均 70、標準差 10，小明考 82 分。z＝(82−70)÷10＝1.2，表示高於平均 1.2 個標準差。在常態分配假設下，這個位置約勝過 88.49% 的同學（查表方法見下一節）。
• 算例二（兩科比較）：數學 85 分（全班平均 70、標準差 15）、英文 91 分（全班平均 82、標準差 6）。數學 z＝(85−70)÷15＝1，英文 z＝(91−82)÷6＝1.5。數學比平均高 15 分、英文只高 9 分，但英文分數比較集中，所以英文的相對位置反而更前面。把工具的三格改成 85、70、15 就能重現數學的結果。
• 算例三（低於平均）：社會科 55 分，全班平均 68、標準差 10。z＝(55−68)÷10＝−1.3，低於平均 1.3 個標準差，常態假設下約勝過 9.68% 的同學。
• 反推：想在平均 64、標準差 12 的考試達到 z＝2，原始分數要 X＝M＋z×SD＝64＋2×12＝88 分。

Z 分數怎麼看

0 是平均，每差 1 就是差 1 個標準差；正負號看方向，絕對值看距離。

• z＝0：剛好等於團體平均。
• z＝1 或 −1：高於或低於平均 1 個標準差；z＝2 或 −2 則是 2 個標準差。
• |z| 越大，離平均越遠；Z 分數沒有固定的上下限。
• Z 分數不是百分制成績，也不是名次：z＝1.2 不代表 1.2 分，也不代表第 1.2 名。
• 教育大辭書的例子：Z＝+1.0 表示成績居於平均數之上一個標準差的位置，在常態分配的假定下，勝過 84.13% 的學生；Z＝−1.0 則只勝過 15.87%。
• 分數越高是否代表「越好」，要看該測驗的計分方向，請以測驗說明或成績單為準。

Z 分數查表：Z 表怎麼用

Z 表把 z 換成標準常態分配中「小於等於 z 的比例」Φ(z)。查法：把 z 寫到小數第 2 位，用前兩位（例如 1.2）找列，用第三位（例如 0.03）找欄。例如 z＝1.23：列 1.2、欄 0.03，得 0.8907，也就是約 89.07%。

負的 z 用對稱性：Φ(−z)＝1−Φ(z)。例如 z＝−1.3，先查 1.3 得 0.9032，再算 1−0.9032＝0.0968，約 9.68%，與算例三一致。

NIST/SEMATECH《工程統計手冊》的 Z 表是「從 0 到 z 的面積」版本，要再加 0.5 才是累積比例；手冊的例子是 z＝1.53 查到 0.43699，加 0.5 得 0.93699。下表改成直接給累積比例 Φ(z)，由本頁工具使用的同一支程式算出，並已逐格對照 NIST 表的 410 個數值，差異都在 0.00001 以內。

已知名次與人數、想直接算 PR，請用PR 百分等級計算器。

• NIST 手冊同時列出常用於統計檢定的臨界值：Φ(z)＝0.90、0.95、0.975、0.99、0.995 時，z 分別約為 1.282、1.645、1.960、2.326、2.576。

Z 分數與 T 分數的關係

T 分數是把 Z 分數線性轉換到「平均 50、標準差 10」的尺度：T＝50＋10z。教育大辭書說明，T 分數 60 表示高於平均數一個標準差；直線轉換得到的 T 分數，分配形狀與原始分數相同。這樣做是為了避開負數與小數，讓成績單比較好讀。

Z 與 T 是同一個位置的兩種寫法，只改尺度，不改相對位置。

想直接由原始分數換成 T 分數與近似 PR，用T 分數計算器。

• z＝1.2 → T＝50＋10×1.2＝62（本頁預設值）。
• z＝−1.3 → T＝50＋10×(−1.3)＝37（算例三）。
• z＝0 → T＝50；z＝1 → T＝60；z＝−2 → T＝30。
• 反過來：T＝65 → z＝(65−50)÷10＝1.5。
• 教育大辭書另說明 T 分數也可以先求百分等級、再轉成標準常態的 z（常態化轉換），這時 T 與百分等級有固定對應；本頁工具做的是直線轉換。

Z 分數與常態分配

標準常態分配的平均是 0、標準差是 1，z 的位置決定曲線下的面積。教育大辭書也是在「常態分配的假定下」，才把 Z＝±1 說成勝過 84.13%／15.87%。

換成 Z 分數只改變中心與尺度，不會把偏斜的資料變成常態：成績明顯偏斜時，z＝1 的位置未必勝過 84% 的人。下表同樣假設常態分配。

Excel 怎麼算 Z 分數

假設全班分數放在 A2:A41，要換算的那一位在 A2，平均數放在 D1、標準差放在 D2，Z 分數放在 B2。下面的公式已用 LibreOffice Calc 實際執行驗算（函數名稱與 Excel 相同）；Microsoft 說明文件的範例 STANDARDIZE(42,40,1.5)＝1.33333333、NORM.S.DIST(1.333333,TRUE)＝0.908788726 也與本頁工具的函式一致。

平均數（填入 D1）

=AVERAGE(A2:A41)

標準差：全班就是完整群體（填入 D2）

=STDEV.P(A2:A41)

標準差：把這批成績當作抽樣（填入 D2）

=STDEV.S(A2:A41)

Z 分數（填入 B2）

=STANDARDIZE(A2,$D$1,$D$2)

Z 分數（不用 STANDARDIZE）

=(A2-$D$1)/$D$2

Z 換成累積比例（等於查 Z 表）

=NORM.S.DIST(B2,TRUE)

高於這個 Z 的比例

=1-NORM.S.DIST(B2,TRUE)

已知比例反查 Z（例如 0.975 → 1.959964）

=NORM.S.INV(0.975)

Z 換成 T 分數

=50+10*B2

• Microsoft 的說明指出：STANDARDIZE 的 standard_dev 小於等於 0 會傳回 #NUM!；NORM.S.INV 的機率不在 0 與 1 之間（不含 0 和 1）時同樣傳回 #NUM!。
• STDEV.P 假設引數是整個母體，STDEV.S 假設引數是母體的樣本。選哪一個會讓 Z 分數有些微差異，請與成績報表或老師的說明一致。

Z 分數常見錯誤

• 把 Z 分數當百分制：z＝1.2 不是 1.2 分。
• 把 z 直接當名次或 PR：z＝1 在常態假設下的比例約 84.13%，不是 1。
• 平均數與標準差來自不同的團體或不同的考卷（例如拿全校平均配班級分數）：結果沒有意義。
• 標準差用錯版本：整個班級當作完整群體與當作抽樣，算出的 Z 會有差異，選一個並在報告寫明。
• 標準差填 0 或負數：z 無法計算，工具會顯示錯誤。
• 對明顯偏斜的成績硬查 Z 表當比例。

方法與資料來源

• 國家教育研究院《教育大辭書》：Z分數（簡茂發，2000 年 12 月） ：Z 為最基本的直線標準分數；公式 Z＝(X－M)/S；正負號與 0 的意義；Z＝±1.0 在常態假設下勝過 84.13%／15.87%。查核日期 2026-10-17。
• 國家教育研究院《教育大辭書》：標準分數（魏麗敏，2000 年 12 月） ：標準分數以平均數為參照點，用離均差表示個別分數在團體中的相對位置；Z 分數、T 分數等屬於同一類。查核日期 2026-10-17。
• 國家教育研究院《教育大辭書》：T分數（盧雪梅，2012 年 10 月） ：T 分數平均 50、標準差 10；直線轉換與常態化轉換；T 60 表示高於平均一個標準差。查核日期 2026-10-17。
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods：1.3.6.7.1 Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution ：標準常態「從 0 到 z 的面積」表、查表範例（z＝1.53 → 0.43699＋0.5）與常用臨界值；本頁 Z 表已逐格對照。查核日期 2026-10-17。
• Microsoft 支援：STANDARDIZE 函數 ：語法 STANDARDIZE(x, mean, standard_dev)；standard_dev ≤ 0 傳回 #NUM!；範例結果 1.33333333。查核日期 2026-10-17。
• Microsoft 支援：NORM.S.DIST 函數 ：標準常態分配，cumulative 為 TRUE 時傳回累加分配函數；範例結果 0.908788726。查核日期 2026-10-17。
• Microsoft 支援：NORM.S.INV 函數 ：傳回標準常態累加分配的反函數值；機率不在 0 與 1 之間（不含 0 和 1）傳回 #NUM!。查核日期 2026-10-17。
• Microsoft 支援：STDEV.P 函數 ：假設引數為整個母體。查核日期 2026-10-17。
• Microsoft 支援：STDEV.S 函數 ：假設引數為母體的樣本。查核日期 2026-10-17。

如何使用

1. 填入原始分數 X，以及同一團體的平均數 M 與標準差 SD。
2. 按下「計算 Z 分數」，看 Z 分數、常態假設下的累積比例與對應的 T 分數。
3. 只想由 Z 值查比例時，把 Z 填在最後一格，上面三格會被忽略。
4. 正式報告請回到測驗手冊或成績單，確認採用的常模與換算方式。

常見使用情境

• 看自己的段考分數在全班的相對位置（算例一）。
• 比較兩科原始分數的相對位置（算例二）。
• 查 Z 表：已知 Z 值，換成常態假設下的比例。

免責聲明

本工具供教學與初步估算，不取代正式統計軟體或專業判斷。正式成績或測驗報告請以測驗手冊、成績單或主辦單位公告為準。